64 Matemàtiques Regla de 3 normal e inversa i Proporcionalitat

Regla de 3

1. Enviar 20 paquets a una ciutat que està a 300 km costa 720 €. Quants diners costaria enviar 37 paquets a 180 km?

Plantegem la regla de tres combinada mirant que quedin agrupats per columnes els ítems (paquets, km i €)

20 paquets ——–> 300 km ——–> 720 €
37 paquets ——–> 180 km ——–>    X €

Plantegem una regla de tres simple (la que vulguem)

20 paquets ——–> 720 €
37 paquets ——–> X €

Ara determinem si es directa o inversa. Com que més paquets costaran més diners diem que es directa. Per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(37· 720)/20 = 1332
És a dir, 1332 € costaria enviar 37 paquets. Fixem-nos que aquest preu és per enviar-los a 300 km (la mateixa distància a la qual vam enviar els 20 primers paquets). Per saber quant costarà enviar aquests 37 paquets hem de plantejar la segona regla de tres:

300 km ——–> 1332 €
180 km ——–> X €

Com que enviar-los a menys distància costarà menys diners, aquesta també és una regla de tres directa. Novament, per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(180·1332)/3000 = 799,2
És a dir, 799,2 € costarà enviar 37 paquets a 180 km.

Ejemplo 1.-

formula-regla-de-3-img2

Ejemplo 2.-

uned586

Norma.-

formula-regla-de-3-img1

Regla de 3 inversa

2. Cinc aixetes omplen un dipòsit de 450 litres en 8 hores. Quan trigaran 13 aixetes en omplir un dipòsit de 680 litres?

Plantegem la regla de tres combinada mirant que quedin agrupats per columnes els ítems (aixetes, litres i hores)

5 aixetes ——–> 450 litres ———-> 8 hores
13 aixetes ——–> 680 litres ———-> X hores

Plantegem una regla de tres simple (la que vulguem)

5 aixetes ——–> 8 hores
13 aixetes ——–> X hores

Ara determinem si es directa o inversa. Com que més aixetes trigaran menys hores direm que es inversa. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(5·8)/13 = 3,08
És a dir, 3,08 hores trigaran13 aixetes. Fixem-nos que això és el que trigarien si haguèssin d’omplir el dipòsit de 450 litres. Per saber quant trigaran en onplir el dipòsit de 680 litres plantejem la segona regla de tres:

450 litres ———-> 3,08 hores
680 litres ———-> X hores

Com que per omplir un dipòsit més gran necessitem més temps, aquesta és una regla de tres directa. Novament, per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(680·3,08)/450 = 4,65
Per tant, 4,65 hores trigaran 13 aixetes en omplir el dipòsit de 680 litres.
Ara bé, podem expressar millor aquest resultat, ja que normalment no fem servir els decimals a les hores sinó que parlem d’hores, minuts i segons. De les 4,65 hores veiem que 4 hores son senceres i que tenim una fració equivalent a 0,65 que podem convertir en minuts fent una altra regla de tres:

1 hora ——-> 60 minuts
0,65 hores ——-> X minuts

Quantes més hores més minuts tindrem, o sigui que, sí és una regla de tres directa. Ja saps, per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant (que en aquest cas no cal, ja que és “1”):
(0,65·60)/1 = 39
39 minuts que sumats a les 4 hores senceres que havíem reservat dona un resultat de 4 hores i 39 minuts trigaran les13 aixetes en omplir el dipòsit de 680 litres

Ejemplo 3.-

formula-regla-de-3-img4

Norma.-

images

Introducción

La regla de 3 simple es una operación que nos ayuda a resolver rápidamente problemas de proporcionalidad, tanto directa como inversa. Para hacer una regla de 3 simple necesitamos 3 datos: dos magnitudes proporcionales entre sí, y una tercera magnitud.

Exercicis.-

PROBLEMES DE REGLA DE TRES

 

  1. Per 3 hores de feina, l’Albert ha cobrat 60 €, Quant cobrarà per 8 hores?

  1. Tres obrers descarreguen un camió en dues hores. Quant temps tardarien dos obrers?

  1. Tres-cents grams de formatge valen 6€. Quants grams podré comprar amb 4’50 € ?

  1. Un camió a 60 Km/h tarda 40 minuts en fer un cert recorregut. Quant temps tardaria un cotxe a fer el mateix recorregut si anés a 120 Km/h?

  1. Per 5 dies de feina he guanyat 390 €, Quant guanyaria si treballés 18 dies?

  1. Una màquina omple 240 ampolles en 20 minuts. Quantes ampolles ompliria en una hora i mitja?

  1. Un cotxe que va a 100 Km/h tarda 20 minuts en fer la distància entre dos pobles. A quina velocitat ha d’anar per fer el recorregut en 16 minuts?

  1. Un corredor de marató ha fet 2’4 Km en els 8 primers minuts del recorregut. Si manté la velocitat, Quant temps tardarà en completar els 42 Km del recorregut.

  1. Un camió que carrega 3 tones necessita fer 15 viatges per transportar certa quantitat de sorra. Quants viatges haurà de fer per transportar la mateixa sorra un camió que carrega 5 tones?

  1. Un pare dóna la paga als seus tres fills de manera que a cadascú li correspongui una quantitat proporcional a la seva edat. Al gran, que té 20 anys li dóna 50 €. Quant donarà als altres dos fills de 15 i 8 anys?

Solucions.-

PROBLEMES_DE_REGLA_DE_TRES_per_la_web

Exercicis Regla de 3 Inversa

exercicis-regles-de-tres-compostes-alter-aula

Altres Exercicis Resolts

3. 5 pintors pinten 14 metres de paret en 9 hores. Quantes hores trigaran 7 pintors en pintar una paret de 15 metres?

Plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (aixetes, litres i hores)

5 pintors ———> 14 metres ——-> 9 hores
7 pintors ———> 15 metres ——-> X hores

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

5 pintors ———> 9 hores
7 pintors ———> X hores

Determinem si es directa o inversa. Més pintors trigaran menys hores en pintar i per tant direm que es inversa. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(5·9)/7 = 6,43
Ens surt que 6,43 hores trigaran 7 pintors en fer la feina. Bé, això és pels 14 metres que pintaven els 5 pintors. Per determinar quant trigaran els 7 pintors en pintar 15 metres plantejem la segona regla de tres:

14 metres ——-> 6,43 hores
15 metres ——-> X hores

Més metres els pintaran en més hores. Efectivament és una directa. Ja saps, per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant.
(15·6,43)/14 = 6,89 hores.
En un entorn laboral o professional, arrodonim a 7 hores. Si volem un resultat adequat al lèxic habitual (hores, minuts, segons) podem fer la conversió com ja hem vist:
6,89 hores = 6 hores + 0,89 hores

1 hora ——-> 60 minuts
0,89 hores ——-> X minuts

Una regla de tres directa de la qual surt: 0,89×60 = 53,4 minuts. Si fem la mateixa operació amb els 0,4 minuts obtindrem 24 segons. Per tant els 7 pintors trigarien en pintar el mur de 15 metres 6 h. 53′ 24”, que ja és ajustar tractant-se de pintors :)

4. Una persona recorre 420 km en 10 dies caminant 8 hores diàries. Quina distància recorreria en un any caminant 5 hores diàries?

Abans que res hem de unificar unitats. La primera oració parla de que camina “10 dies” i la pregunta és sobre “un any”. Convertim 1 any en 365 dies i plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (km, dies, hores).

420 km ——–> 10 dies ———-> 8 hores
X km ——–> 365 dies ———-> 5 hores

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

420 km ——–> 10 dies
X km ——–> 365 dies

Determinem si es directa o inversa. Més dies caminant implica més kilòmetres i per això direm que és directa. Per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(420·365)/10 = 15.330
15.330 km recorrerà aquesta persona en un any si ho fes durant 8 hores diàries. Per saber la distància que recorrerà si s’hi dedica 5 hores diàries plantegem la segona regla de tres:

15.330 km ——–> 8 hores
X km ——–> 5 hores

Si pensem una mica veurem que si dedica menys hores a còrrer recorrerà menys distàcia. És, doncs, directa també. Per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(15.330·5)/8 = 9.581,25
9.581,25 km recorrerà en un any corrent 5 hores diàries.

5. 7 operaris han muntat una màquina en 12 dies treballant 8 hores diàries. Quants operaris es necessiten per muntar la mateixa màquina en 8 dies treballant 10 hores diàries?

Plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (operaris, dies i hores)

7 operaris ——–> 12 dies ———-> 8 hores
X operaris ——–> 8 dies ———-> 10 hores

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

7 operaris ——–> 12 dies
X operaris ——–> 8 dies

Per fer la feina en menys dies necessitem més operaris. Per tant és inversa. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(7·12)/8 = 10,5
10,5 operaris necessitem per fer la feina en 8 dies en compte de en 12. Ara bé, si en cop de 8 hores treballessin 10 diàries, com seria? Hem de plantejar la segona regla de tres:

10,5 operaris ——–> 8 hores
X operaris ——–> 10 hores

Novament és inversa ja que quantes més hores diàries es treballin, menys operaris necessitem per realitzar la feina. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(10,5·8)10 = 8,4
8,4 operaris necessitem per muntar la màquina en 8 dies treballant 10 hores diàries. Ara bé, com que no podem contractar 0,4 operaris, podem dir que contractem 9 operaris, un dels quals només pel 40% de la jornada de 10 hores (4 hores/dia)

6. Dues rodes estan unides per una corretja transmisora. La primera roda, la petita, té un radi de 10 cm i la segona, la gran, el té de 30 cm. Si la roda petita gira a 25 RPM (voltes per minut), quant de temps necessita la roda gran per fer 150 voltes?

Plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (radi, voltes i minuts)

radi 10 ———-> 25 voltes ————> 1 minut
radi 30 ———-> 150 voltes ————> X minuts

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

radi 10 ————> 1 minut
radi 30 ———–> X minuts

La roda petita gira més ràpid que la gran, en una proporció inversa als seus perímetres. Això vol dir que, per fer les mateixes voltes la roda més gran necessita més temps. És una regla de tres directa. Per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(30·1)/10 = 3 minuts
3 minuts necessitaria la roda gran per fer 25 voltes. Per esbrinar quant trigarà en fer 150 voltes plantegen la segona regla de tres:

25 voltes ————> 3 minuts
150 voltes ———–> X minuts

És una regla de tres directa. Per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(150·3)/25 = 18
18 minuts trigarà la roda gran en fer 150 voltes.

7. 3 màquines envasen 1200 litres d’oli en 42 minuts. Quan trigaran en envasar 10.000 litres 5 màquines?

Plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (màquines, litres i minuts)

3 màquines ———-> 1.200 litres ————> 42 minuts
5 màquines ———-> 10.000 litres ————> X minuts

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

3 màquines ———-> 42 minuts
5 màquines ———-> X minuts

Més màquines trigaran menys temps en envasar, llavors és una regla de tres inversa. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(3·42)/5 = 25,2
25,2 minuts trigaran 5 màquines en envasar els 1.200 litres que tres màquines trigaven 42 minuts. Ara bé, per saber quan trigaran en envasar 10.000 litres fem l’altra regla de tres:

1.200 litres ———-> 25,2 minuts
10.000 litres ———-> X minuts

Per envasar més quantitat necessitaran més temps. És doncs una regla de tres directa. Per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(10.000·25,2)/1.200 = 210 minuts
210 minuts trigaran 5 màquines en envasar 10.000 litres d’oli. Ara bé, normalment quan els minuts superen els 60 ja parlem d’hores, minuts, etc.:

1 hora ———-> 60 minuts
X hores ———-> 210 minuts

Quantes més hores més minuts, per tant, directa. Multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(1·210)/60 = 3,5 hores

8. 80 vaques menjen 1200 Kg. de pinso en 8 dies. Quants dies poden menjar 23 vaques amb 5.000 kg de pinso?

Plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (vaques, kg de pinso i dies)

80 vaques ———-> 1.200 kg pinso ————> 8 dies
23 vaques ———-> 5.000 kg pinso ————> X dies

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

80 vaques ———-> 8 dies
23 vaques ———-> X dies

Menys vaques menjaran més dies amb la mateixa quantitat de menjar. Per tant és una regla de tres inversa. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(80·8)/23 = 27,83
27,83 dies podran menjar 23 vaques amb 1200 kg de pinso. Per saber quants dies poden passar amb 5.000 kg hem de plantejar i resoldre la segona regla de tres:

27,83 dies ———-> 1.200 kg
X dies ———-> 5.000 kg

Com que quant més pinso tinguin més dies poden menjar, aquesta és una regla de tres directa. Multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(27,83·5.000)/1.200 = 115, 96
És a dir, pràcticament 116 dies podran alimentar-se 23 vaques amb 5.000 kg de pinso.

9. Som una colla de 8 amics i cada un posa 5 € per llogar una pista de futbol sala 4 hores a la setmana. Quant hauria de pagar cada persona si fossim 12 i volguessim llogar la pista per 8 hores a la setmana?

Plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (amics, € i hores)

8 amics ———-> 5 € ————> 4 hores
12 amics ———-> X € ————> 8 hores

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

8 amics ———-> 5 €
12 amics ———-> X €

Més persones pagaran menys diners cada una d’elles, per tant és una inversa. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(8·5)/12 = 3,33…
Arrodonim a 3,34 € perquè ens arribin els diners i això és el que ha de pagar cada amic per llogar la pista 4 hores. Si aquests 12 amics volen llogar la pista 8 hores (el doble) plantegen la següent regla de tres directa.

3,33 € ———-> 4 hores
X € ———-> 8 hores

Multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(3,33·8)/4 = 6,66 € ha de posar cada amic de la colla de 12 membres per llogar la pista 8 hores a la setmana.

10. Necessitem 37 autobusos per transportar 11.000 passatgers en 5 viatges. Quats autobusos necessitarem per transportar 17.000 passatgers en 4 viatges?

Plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (autobusos, passatgers i viatges)

37 autobusos ———-> 11.000 passatgers ————> 5 viatges
X autobusos ———-> 17.000 passatgers ————> 4 viatges

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

37 autobusos ———-> 5 viatges
X autobusos ———-> 4 viatges

Quant més autobusos menys viatges farem, per tant és una regla de tres inversa. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(37·5)/4 = 46,25

45,25 autobusos necessitarem per portar 11.000 passatgers en 4 viatges. Per saber quants en necessitem per portar 17.000 passatgers plantegem una altra regla de tres:

42,25 autobusos ———-> 11.000 passatgers
X autobusos ———-> 17.000 passatgers viatges

Per portar més passatgers necessitem més autobusos. És doncs una regla de tres directa. Per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(17.000·42,25)/11.000 = 65,3
65,3 autobusos, però com que només podem contractar autobusos sencers, haurem de demanar 66.

 

62 Àrees i Volums

Repaso Teórico:

El perímetro es la suma de las medidas de los lados de un rectángulo. Esto equivale al contorno de la forma a ser calculada. Un ejemplo práctico: si quisiéramos calcular la cantidad de cerca eléctrica necesaria para delimitar un terreno que tiene 6 de largo y 8 de ancho, la expresión matemática para calcular el perímetro será: 8 + 8 + 6 + 6.

ejercicio-calculo-perimetro

El área puede ser definida como la medida de la superficie, y se descubre partir de multiplicar la base por la altura. Utilizamos esta expresión cuando vamos a calcular la superficie por ejemplo, de un campo de fútbol u otro deporte.

area-o-que-e-noticias-1408476424391

El volumen corresponde al espacio que la forma ocupa, por lo tanto, es la multiplicación de la altura por el ancho y por el largo. El volumen sirve, por ejemplo, cuando queremos calcular la cantidad de agua en una piscina.

volume-o-que-e-noticias-1408476484484

Área y volumen de pirámides

Pirámide es un poliedro cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

Recordemos  los elementos de una pirámide

área_volumen_pirámide1

Para calcular el área total de una pirámide es necesario conocer:

  1. El área de la base (áb ), que es el polígono donde se apoya la pirámide.
  2. El perímetro de la base(pb ), que es la longitud de todas las caras.
  3. La apotema de la base (ap), que es la distancia del centro de la base a cualquier lado.
  4. La apotema de la pirámide (Ap), que es la altura de una cara lateral.
  5. La altura del poliedro (h), que es la distancia que hay del centro de la base al vértice de la pirámide.

Si deseas el formulario para obtener el volumen haz clic aquí

Las fórmulas generales para obtener el área y el volumen de una pirámide son las siguientes:

área_volumen_pirámide2

Ejemplos de ejercicios de área y volumen de una pirámide.

1.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10, la altura de 12 cm y un Apotema del poliedro de 13 cm.

Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema

indica que es una pirámide cuadrangular con las siguientes medidas:

área_volumen_pirámide3

Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras triangulares) que es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

área_volumen_pirámide4

área_volumen_pirámide4.1

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un cuadrado, ya que la base es cuadrangular.  Es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un cuadrado).

área_volumen_pirámide5

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide cuadrangular especificada.

área_volumen_pirámide6

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide cuadrangular  sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del cuadrado y multiplicando por la altura del poliedro.

área_volumen_pirámide7

2.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular pentagonalcuya altura mide 3.20m, el lado de la base 0.87185m, el apotema del poliedro 3.25576m;  y el apotema de la base 0.60m

Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema indica que es una pirámide pentagonal con las siguientes medidas.

área_volumen_pirámide8

Obtengamos primero el área lateral (el de las cinco caras triangulares) que es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

área_volumen_pirámide9

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un pentágono regular, ya que la base es pentágono.  Es el área coloreada.

área_volumen_pirámide10

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide pentagonal especificada.

área_volumen_pirámide11

 

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide pentagonal  sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del pentágono y multiplicando por la altura del poliedro.

área_volumen_pirámide12

3.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular triangular cuyas medidas son las siguientes:

área_volumen_pirámide13

Obtengamos primero el área lateral (el de las tres caras triangulares, sin la base), coloreadas en la figura de abajo.

Recuerda que en una pirámide regular la altura de cada uno de los triángulos laterales (caras), llamada apotema del poliedro (Ap), es igual a la altura del triángulo lateral.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

piramide1

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un triángulo, ya que la base es un triángulo equilátero.  Es el área coloreada.

área_volumen_pirámide15

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide regular triangular especificada.

área_volumen_pirámide16

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide triangular con la siguiente fórmula:

piramide4

Observa que se desconoce la medida de la altura (h) de la pirámide.

Ésta se obtiene a través del Teorema de Pitágoras = C²  = A² + B², donde C es igual a Ap (12 cm) y B es igual a la mitad de la altura de la base (la mitad de 5.19 = 2.595). El valor que busco es A, que es la altura de la pirámide y la encuentro restando B² = C² –  A²;.

Veamos en la siguiente imagen:

piramide2

Ahora que ya tenemos el valor de la altura de la pirámide (h = 11.7160 cm), obtenemos el volumen de la pirámide:

piramide3

 

Otros ejemplos relacionados. Ejercicio 1

Ejercicios de Repaso:

1.- Calcula el Perímetro y el Área de esta superficie,

perimetro-o-que-e-noticias

2.- ¿Cuánto mide le área y el lado que falta?

ejercicio-calcular-area

3. Calcula el volumen, en centímetros cúbicos, de una habitación que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y 2500 mm de alto.( 1)

Captura de pantalla 2017-03-27 a les 16.00.14

4. Una piscina tiene 8 m de largo, 6 m de ancho y 1.5 m de profundidad. Se pinta la piscina a razón de $ 6 el metro cuadrado.(2)

a) Cuánto costará pintarla.
b) Cuántos litros de agua serán necesarios para llenarla.

Captura de pantalla 2017-03-27 a les 16.00.28

5. En un almacén de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas de dimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. ¿Cuantas cajas podremos almacenar? (3)

Captura de pantalla 2017-03-27 a les 16.00.37

6. Calcula la cantidad de hojalata que se necesitará para hacer 10 botes de forma cilíndrica de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura.

Captura de pantalla 2017-03-27 a les 16.06.23

7. ¿Cuántas losetas cuadradas de 20 cm de lado se necesitan para recubrir las caras de una piscina de 10 m de largo por 6 m de ancho y de 3 m de profundidad? (10)

Captura de pantalla 2017-03-27 a les 16.01.02

8. Para una fiesta, Luís ha hecho 10 gorros de forma cónica con cartón. ¿Cuánto cartón habrá utilizado si las dimensiones del gorro son 15 cm de radio y 25 cm de generatriz? (12)

Captura de pantalla 2017-03-27 a les 16.01.29

9. Calcular la diagonal, el área lateral, el área total y el volumen de un cubo de 5 cm de arista.(14)

Captura de pantalla 2017-03-27 a les 16.01.37
10.El ancho de un parque de forma rectangular mide la mitad de su largo. Si su perímetro mide 84 m. ¿Cuál es el área del parque en metros cuadrados?

61 Estadistica

Exercicis i Teoria

Nuevo doc 26_7

Exercici 1.-

130 128 141 139 137    126 135 136 134 131

143 140 129 128 137   136 142 138 144 136

Ara a fer la taula:

Altura fi hi Fi Hi

Nuevo doc 26_8

Exercici 2.-

a) Quants tipus de variables hi han:

b) Per que serveix el Histograma i un Diagrama de barres

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Ejercici 3.- Elabora un Histograma i el polígon de freqüencies corresponent

Nuevo doc 26_10

Ejercici 4.- Troba la mitjana aritmètica, la moda i la mediana de les dades anteriors dels vols dels 10 pilots.

Nuevo doc 26_13

cuartiles-deciles-centiles-130114182709-phpapp02-thumbnail-4image069

Exercici 5:

Captura de pantalla 2017-03-22 a les 18.47.16Captura de pantalla 2017-03-22 a les 18.57.11

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Exercici 6.- Troba el Rang, la Desviació Mitjana, la Variànça, la Desviació Típica i el Coeficient de variació de les dades de les notes de 5 alumnes de 4t d’Eso.

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Exercici 7.- Troba el Rang, la Desviació Mitjana, la Variànça, la Desviació Típica i el Coeficient de variació de les dades del nombre d’encerts de 100 alumnes en una prova de 30 preguntes.

Ampliación:

Los Percentiles:

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MEDIDAS DE POSICIÓN Son valores de la distribución de datos que la dividen en partes iguales, es decir, en intervalos. Los más usados son: Los Cuartiles, Q1, Q2, Q3. El segundo cuartil es precisamente la mediana. El primer cuartil, es el valor por debajo del cual queda un cuarto (25%) de todos los valores de la sucesión (ordenada); el tercer cuartil, es el valor por debajo del cual quedan las tres cuartas partes (75%) de los datos, Hildebrand, (1997).

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CÁLCULO DE LOS CUARTILES Y EJEMPLOS Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 … Xn, El primer cuartil, (Q1): Cuando n es par: Cuando n es impar: El tercer cuartil, (Q3): Cuando n es par: Cuando n es impar: 1*N/4 1*(N+1)/4 3*N/4 3*(N+1)/4 Para Datos No Agrupados

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Ejemplo para calcular los cuartiles Q1, Q2 y Q3: Datos: 105, 97, 245, 163, 207, 134, 218, 199, 160, 196, 221, 154, 228, 131, 180, 178, 157, 151, 175, 201, 183, 153, 174, 154, 190, 201, 207, 218, 221, 245. tiempo en segundos al correr 200 metros planos. Ordenamiento: 97, 105, 131, 134, 151, 153, 154, 154, 157, 160, 163, 174, 175, 178, 180, 183, 190, 196, 199, 201, 207, 218, 221, 245. CÁLCULO DE LOS CUARTILES Y EJEMPLO Para Datos no Agrupados. Q1 = 1*(N+1)/4 Q1 = 1*(25+1)/4 =6.5 =pos. 7=153 Q2 = 2*(25+1)/4 =13 = pos. 13=175 Q2 = 2*(N+1)/4 Q3 = 3*(N+1)/4 Q3 = 3*(25+1)/4 =19 = pos. 19=199

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EJEMPLO DE CÁLCULO DE LOS CUARTILES Para Datos Agrupados en Tabla de Frecuencias La fórmula para el cálculo de los cuartiles cuando se trata de datos agrupados es la siguiente: Donde: Li: limite inferior de la clase que lo contiene. (a Q1) Q: valor que representa la posición de la medida.fi: la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.fa-1: frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida buscadaIc: intervalo de clase.

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CÁLCULO DE LOS CUARTILES Y EJEMPLO Para Datos Agrupados en Tabla de Frecuencias Determinación del primer cuartil, Este salario de Q1 =334 BsF. Supera en la distribución de frecuencia al 25% de los sueldos de los empleados y es superada por el 75% de los mismos. ?fi/4 ?fi/4-Faa Nos indica que el 25 por ciento de los empleados ganan salarios por debajo de Bs. 334; que sobre Bs

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Los Percentiles, (P), son los que dividen a la distribución en cien partes. Hay 99 percentiles que dividen a una serie en 100 partes iguales CÁLCULO DE LOS PERCENTILES Estos valores se calculan También en base a: Datos no agrupados Datos agrupados de tablas de distribución de frecuencias

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CÁLCULO DE LOS PERCENTILES Para Datos no Agrupados Para los percentiles con datos no agrupados se usa una fórmula parecida a las de los cuartiles, a saber: Si se tienen una serie de valores X1, X2, X3 … Xn, Cuando n es par: Cuando n es impar: P*N/100 P*(N+1)/100 Ejemplo: La siguiente serie de datos de los días que necesitaron los 10 docentes en planificar sus planes de clases para 6º año, fueron: 6, 4, 7, 8, 10, 11, 9, 12, 15, 3. Al calcular el 30º P, resulta: 30ºP=30*10/100=3. Quiere decir que el 30% de los profesores tardaron al menos 6 dias en planificar.

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CÁLCULO DE LOS PERCENTILES Para Datos Agrupados en Tabla de Frecuencias Fórmula para calcular cualquier percentil en una distribución de frecuencias en clases Donde: Li: limite inferior de la clase que lo contiene. (a P) P: valor que representa la posición de la medida.fi: la frecuencia de la clase que contiene la medida solicitada.fa-1: frecuencia acumulada anterior a la que contiene la medida buscadaIc: intervalo de clase.

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CÁLCULO DE LOS PERCENTILES. Para Datos Agrupados en Tabla de Frecuencias Según la formula: Supongamos la siguiente distribución de frecuencias referidas a las estaturas que representaban 40 alumnos de un curso de 5º año. Calcule el P55 Esta estatura supera al 55% de los alumnos del curso y es superada por el 45% restante.

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MEDIDAS DE FORMA Comparan la forma que tiene la representación gráfica, bien sea el histograma o el diagrama de barras de la distribución, con la distribución normal, y Son dos basicamente Asimetria Curtosis

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MEDIDAS DE ASIMETRIA Existen varias medidas de la asimetría de una distribución de frecuencias. Una de ellas es el Coeficiente de Asimetría de Pearson Una distribución es simétrica cuando su mediana, su moda y su media aritmética coinciden y su valor es cero (0). Se dice que una distribución es asimétrica a la derecha y positiva si las frecuencias (absolutas o relativas) descienden más lentamente por la derecha que por la izquierda y viceversa

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GRAFICO DE LA ASIMETRIA Grafico que muestra las tres (3) curvas de asimetria según los valores de la media, la mediana y la moda.

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MEDIDAS DE APUNTAMIENTO O CURTOSIS Miden la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en torno a la moda. Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis: Distribución mesocúrtica:  presenta un grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal).  Distribución leptocúrtica presenta un elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable. Distribución platicúrtica: presenta un reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

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GRÁFICAS DE LA CURTOSIS Gráfica que muestra el grado de concentración de los datos alrededor de la media de los datos

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Es una forma rápida de obtener una representación visual ilustrativa del conjunto de datos DIAGRAMA DE CAJA El diagrama de caja y bigote es un gráfico basado en cuartiles para representar un conjunto de datos basándose en los cuartiles Q1 y Q3, la mediana, el valor mínimo y el valor máximo de una conjuntos de datos Alaminos, (1993).

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DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS Esta representación de los datos es semejante a la de un histograma Y presentan más información que estos. El diagrama “tallo y hojas” permite obtener simultáneamente una distribución de frecuencias de la variable y su representación gráfica. Para construirlo basta separar en cada dato el último dígito de la derecha (que constituye la hoja) del bloque de cifras restantes (que formará el tallo). Alaminos, (1993).

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DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS Para construirlo basta separar en cada dato el último dígito de la derecha (que constituye la hoja) del bloque de cifras restantes (que formará el tallo). Supongamos la siguiente distribución de frecuencias, que corresponden a la edad de 20 personas. 36, 25, 37, 24, 39, 20, 36, 45, 31, 31, 39, 24, 39, 23, 41, 40, 33, 24, 34, 40 Comenzamos seleccionando los tallos que en nuestro caso son las cifras de decenas, es decir 3, 2, 4, que reordenadas son 2, 3 y 4. A continuación efectuamos un recuento y vamos «añadiendo» cada hoja a su tallo.

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DIAGRAMA DE CAJA Por último reordenamos las hojas y hemos terminado el diagrama

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos90/medidas-posicion-y-forma/medidas-posicion-y-forma.shtml#ixzz4c4vHhDIB

Solució Quartils:

Captura de pantalla 2017-03-22 a les 18.57.36

51 Sol.lució Ex. 2 Ava2 Matemàtiques

Solucions:

1.-

captura-de-pantalla-2017-02-17-a-les-7-03-09

2.-

3.-

a) 2·0−0+3·0+4=4
b) 2·(−2)3 −(−2)2 +3·(−2)+4=−16−4−6+4=−22

4.-

1 cm eq. 500.000 cm

1 cm eq. 5.000 m, eq. 5 km

40 cm eq. 200 km

A esa escala, un centímetro en el mapa equivale a 500.000 centímetros en el terreno; es decir, a 5.000 metros ó a 5 kilómetros. 40 centímetros medidos en el mapa equivalen, por tanto, a 200 kilómetros en el terreno.

5.-

captura-de-pantalla-2017-02-17-a-les-7-00-01

6.-

captura-de-pantalla-2017-02-17-a-les-7-00-33

7.-

a)

1 cm eq. 50.000 cm

1 cm eq. 0,5 km

15 cm eq. 7,5 km

A esa escala, un centímetro en el mapa equivale a 50.000 centímetros en el terreno; es decir, a 0,5 kilómetros. Por tanto, a 15 centímetros del mapa le corresponden 7,5 kilómetros en el terreno.

8.-

captura-de-pantalla-2017-02-17-a-les-6-59-22

10.-

a)captura-de-pantalla-2017-02-17-a-les-7-33-41

b)

captura-de-pantalla-2017-02-17-a-les-7-33-50

c)

captura-de-pantalla-2017-02-17-a-les-7-35-01

d)

captura-de-pantalla-2017-02-17-a-les-7-36-09