64 Matemàtiques Regla de 3 normal e inversa i Proporcionalitat

Regla de 3

1. Enviar 20 paquets a una ciutat que està a 300 km costa 720 €. Quants diners costaria enviar 37 paquets a 180 km?

Plantegem la regla de tres combinada mirant que quedin agrupats per columnes els ítems (paquets, km i €)

20 paquets ——–> 300 km ——–> 720 €
37 paquets ——–> 180 km ——–>    X €

Plantegem una regla de tres simple (la que vulguem)

20 paquets ——–> 720 €
37 paquets ——–> X €

Ara determinem si es directa o inversa. Com que més paquets costaran més diners diem que es directa. Per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(37· 720)/20 = 1332
És a dir, 1332 € costaria enviar 37 paquets. Fixem-nos que aquest preu és per enviar-los a 300 km (la mateixa distància a la qual vam enviar els 20 primers paquets). Per saber quant costarà enviar aquests 37 paquets hem de plantejar la segona regla de tres:

300 km ——–> 1332 €
180 km ——–> X €

Com que enviar-los a menys distància costarà menys diners, aquesta també és una regla de tres directa. Novament, per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(180·1332)/3000 = 799,2
És a dir, 799,2 € costarà enviar 37 paquets a 180 km.

Ejemplo 1.-

formula-regla-de-3-img2

Ejemplo 2.-

uned586

Norma.-

formula-regla-de-3-img1

Regla de 3 inversa

2. Cinc aixetes omplen un dipòsit de 450 litres en 8 hores. Quan trigaran 13 aixetes en omplir un dipòsit de 680 litres?

Plantegem la regla de tres combinada mirant que quedin agrupats per columnes els ítems (aixetes, litres i hores)

5 aixetes ——–> 450 litres ———-> 8 hores
13 aixetes ——–> 680 litres ———-> X hores

Plantegem una regla de tres simple (la que vulguem)

5 aixetes ——–> 8 hores
13 aixetes ——–> X hores

Ara determinem si es directa o inversa. Com que més aixetes trigaran menys hores direm que es inversa. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(5·8)/13 = 3,08
És a dir, 3,08 hores trigaran13 aixetes. Fixem-nos que això és el que trigarien si haguèssin d’omplir el dipòsit de 450 litres. Per saber quant trigaran en onplir el dipòsit de 680 litres plantejem la segona regla de tres:

450 litres ———-> 3,08 hores
680 litres ———-> X hores

Com que per omplir un dipòsit més gran necessitem més temps, aquesta és una regla de tres directa. Novament, per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(680·3,08)/450 = 4,65
Per tant, 4,65 hores trigaran 13 aixetes en omplir el dipòsit de 680 litres.
Ara bé, podem expressar millor aquest resultat, ja que normalment no fem servir els decimals a les hores sinó que parlem d’hores, minuts i segons. De les 4,65 hores veiem que 4 hores son senceres i que tenim una fració equivalent a 0,65 que podem convertir en minuts fent una altra regla de tres:

1 hora ——-> 60 minuts
0,65 hores ——-> X minuts

Quantes més hores més minuts tindrem, o sigui que, sí és una regla de tres directa. Ja saps, per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant (que en aquest cas no cal, ja que és “1”):
(0,65·60)/1 = 39
39 minuts que sumats a les 4 hores senceres que havíem reservat dona un resultat de 4 hores i 39 minuts trigaran les13 aixetes en omplir el dipòsit de 680 litres

Ejemplo 3.-

formula-regla-de-3-img4

Norma.-

images

Introducción

La regla de 3 simple es una operación que nos ayuda a resolver rápidamente problemas de proporcionalidad, tanto directa como inversa. Para hacer una regla de 3 simple necesitamos 3 datos: dos magnitudes proporcionales entre sí, y una tercera magnitud.

Exercicis.-

PROBLEMES DE REGLA DE TRES

 

  1. Per 3 hores de feina, l’Albert ha cobrat 60 €, Quant cobrarà per 8 hores?

  1. Tres obrers descarreguen un camió en dues hores. Quant temps tardarien dos obrers?

  1. Tres-cents grams de formatge valen 6€. Quants grams podré comprar amb 4’50 € ?

  1. Un camió a 60 Km/h tarda 40 minuts en fer un cert recorregut. Quant temps tardaria un cotxe a fer el mateix recorregut si anés a 120 Km/h?

  1. Per 5 dies de feina he guanyat 390 €, Quant guanyaria si treballés 18 dies?

  1. Una màquina omple 240 ampolles en 20 minuts. Quantes ampolles ompliria en una hora i mitja?

  1. Un cotxe que va a 100 Km/h tarda 20 minuts en fer la distància entre dos pobles. A quina velocitat ha d’anar per fer el recorregut en 16 minuts?

  1. Un corredor de marató ha fet 2’4 Km en els 8 primers minuts del recorregut. Si manté la velocitat, Quant temps tardarà en completar els 42 Km del recorregut.

  1. Un camió que carrega 3 tones necessita fer 15 viatges per transportar certa quantitat de sorra. Quants viatges haurà de fer per transportar la mateixa sorra un camió que carrega 5 tones?

  1. Un pare dóna la paga als seus tres fills de manera que a cadascú li correspongui una quantitat proporcional a la seva edat. Al gran, que té 20 anys li dóna 50 €. Quant donarà als altres dos fills de 15 i 8 anys?

Solucions.-

PROBLEMES_DE_REGLA_DE_TRES_per_la_web

Exercicis Regla de 3 Inversa

exercicis-regles-de-tres-compostes-alter-aula

Altres Exercicis Resolts

3. 5 pintors pinten 14 metres de paret en 9 hores. Quantes hores trigaran 7 pintors en pintar una paret de 15 metres?

Plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (aixetes, litres i hores)

5 pintors ———> 14 metres ——-> 9 hores
7 pintors ———> 15 metres ——-> X hores

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

5 pintors ———> 9 hores
7 pintors ———> X hores

Determinem si es directa o inversa. Més pintors trigaran menys hores en pintar i per tant direm que es inversa. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(5·9)/7 = 6,43
Ens surt que 6,43 hores trigaran 7 pintors en fer la feina. Bé, això és pels 14 metres que pintaven els 5 pintors. Per determinar quant trigaran els 7 pintors en pintar 15 metres plantejem la segona regla de tres:

14 metres ——-> 6,43 hores
15 metres ——-> X hores

Més metres els pintaran en més hores. Efectivament és una directa. Ja saps, per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant.
(15·6,43)/14 = 6,89 hores.
En un entorn laboral o professional, arrodonim a 7 hores. Si volem un resultat adequat al lèxic habitual (hores, minuts, segons) podem fer la conversió com ja hem vist:
6,89 hores = 6 hores + 0,89 hores

1 hora ——-> 60 minuts
0,89 hores ——-> X minuts

Una regla de tres directa de la qual surt: 0,89×60 = 53,4 minuts. Si fem la mateixa operació amb els 0,4 minuts obtindrem 24 segons. Per tant els 7 pintors trigarien en pintar el mur de 15 metres 6 h. 53′ 24”, que ja és ajustar tractant-se de pintors :)

4. Una persona recorre 420 km en 10 dies caminant 8 hores diàries. Quina distància recorreria en un any caminant 5 hores diàries?

Abans que res hem de unificar unitats. La primera oració parla de que camina “10 dies” i la pregunta és sobre “un any”. Convertim 1 any en 365 dies i plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (km, dies, hores).

420 km ——–> 10 dies ———-> 8 hores
X km ——–> 365 dies ———-> 5 hores

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

420 km ——–> 10 dies
X km ——–> 365 dies

Determinem si es directa o inversa. Més dies caminant implica més kilòmetres i per això direm que és directa. Per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(420·365)/10 = 15.330
15.330 km recorrerà aquesta persona en un any si ho fes durant 8 hores diàries. Per saber la distància que recorrerà si s’hi dedica 5 hores diàries plantegem la segona regla de tres:

15.330 km ——–> 8 hores
X km ——–> 5 hores

Si pensem una mica veurem que si dedica menys hores a còrrer recorrerà menys distàcia. És, doncs, directa també. Per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(15.330·5)/8 = 9.581,25
9.581,25 km recorrerà en un any corrent 5 hores diàries.

5. 7 operaris han muntat una màquina en 12 dies treballant 8 hores diàries. Quants operaris es necessiten per muntar la mateixa màquina en 8 dies treballant 10 hores diàries?

Plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (operaris, dies i hores)

7 operaris ——–> 12 dies ———-> 8 hores
X operaris ——–> 8 dies ———-> 10 hores

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

7 operaris ——–> 12 dies
X operaris ——–> 8 dies

Per fer la feina en menys dies necessitem més operaris. Per tant és inversa. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(7·12)/8 = 10,5
10,5 operaris necessitem per fer la feina en 8 dies en compte de en 12. Ara bé, si en cop de 8 hores treballessin 10 diàries, com seria? Hem de plantejar la segona regla de tres:

10,5 operaris ——–> 8 hores
X operaris ——–> 10 hores

Novament és inversa ja que quantes més hores diàries es treballin, menys operaris necessitem per realitzar la feina. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(10,5·8)10 = 8,4
8,4 operaris necessitem per muntar la màquina en 8 dies treballant 10 hores diàries. Ara bé, com que no podem contractar 0,4 operaris, podem dir que contractem 9 operaris, un dels quals només pel 40% de la jornada de 10 hores (4 hores/dia)

6. Dues rodes estan unides per una corretja transmisora. La primera roda, la petita, té un radi de 10 cm i la segona, la gran, el té de 30 cm. Si la roda petita gira a 25 RPM (voltes per minut), quant de temps necessita la roda gran per fer 150 voltes?

Plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (radi, voltes i minuts)

radi 10 ———-> 25 voltes ————> 1 minut
radi 30 ———-> 150 voltes ————> X minuts

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

radi 10 ————> 1 minut
radi 30 ———–> X minuts

La roda petita gira més ràpid que la gran, en una proporció inversa als seus perímetres. Això vol dir que, per fer les mateixes voltes la roda més gran necessita més temps. És una regla de tres directa. Per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(30·1)/10 = 3 minuts
3 minuts necessitaria la roda gran per fer 25 voltes. Per esbrinar quant trigarà en fer 150 voltes plantegen la segona regla de tres:

25 voltes ————> 3 minuts
150 voltes ———–> X minuts

És una regla de tres directa. Per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(150·3)/25 = 18
18 minuts trigarà la roda gran en fer 150 voltes.

7. 3 màquines envasen 1200 litres d’oli en 42 minuts. Quan trigaran en envasar 10.000 litres 5 màquines?

Plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (màquines, litres i minuts)

3 màquines ———-> 1.200 litres ————> 42 minuts
5 màquines ———-> 10.000 litres ————> X minuts

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

3 màquines ———-> 42 minuts
5 màquines ———-> X minuts

Més màquines trigaran menys temps en envasar, llavors és una regla de tres inversa. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(3·42)/5 = 25,2
25,2 minuts trigaran 5 màquines en envasar els 1.200 litres que tres màquines trigaven 42 minuts. Ara bé, per saber quan trigaran en envasar 10.000 litres fem l’altra regla de tres:

1.200 litres ———-> 25,2 minuts
10.000 litres ———-> X minuts

Per envasar més quantitat necessitaran més temps. És doncs una regla de tres directa. Per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(10.000·25,2)/1.200 = 210 minuts
210 minuts trigaran 5 màquines en envasar 10.000 litres d’oli. Ara bé, normalment quan els minuts superen els 60 ja parlem d’hores, minuts, etc.:

1 hora ———-> 60 minuts
X hores ———-> 210 minuts

Quantes més hores més minuts, per tant, directa. Multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(1·210)/60 = 3,5 hores

8. 80 vaques menjen 1200 Kg. de pinso en 8 dies. Quants dies poden menjar 23 vaques amb 5.000 kg de pinso?

Plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (vaques, kg de pinso i dies)

80 vaques ———-> 1.200 kg pinso ————> 8 dies
23 vaques ———-> 5.000 kg pinso ————> X dies

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

80 vaques ———-> 8 dies
23 vaques ———-> X dies

Menys vaques menjaran més dies amb la mateixa quantitat de menjar. Per tant és una regla de tres inversa. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(80·8)/23 = 27,83
27,83 dies podran menjar 23 vaques amb 1200 kg de pinso. Per saber quants dies poden passar amb 5.000 kg hem de plantejar i resoldre la segona regla de tres:

27,83 dies ———-> 1.200 kg
X dies ———-> 5.000 kg

Com que quant més pinso tinguin més dies poden menjar, aquesta és una regla de tres directa. Multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(27,83·5.000)/1.200 = 115, 96
És a dir, pràcticament 116 dies podran alimentar-se 23 vaques amb 5.000 kg de pinso.

9. Som una colla de 8 amics i cada un posa 5 € per llogar una pista de futbol sala 4 hores a la setmana. Quant hauria de pagar cada persona si fossim 12 i volguessim llogar la pista per 8 hores a la setmana?

Plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (amics, € i hores)

8 amics ———-> 5 € ————> 4 hores
12 amics ———-> X € ————> 8 hores

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

8 amics ———-> 5 €
12 amics ———-> X €

Més persones pagaran menys diners cada una d’elles, per tant és una inversa. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(8·5)/12 = 3,33…
Arrodonim a 3,34 € perquè ens arribin els diners i això és el que ha de pagar cada amic per llogar la pista 4 hores. Si aquests 12 amics volen llogar la pista 8 hores (el doble) plantegen la següent regla de tres directa.

3,33 € ———-> 4 hores
X € ———-> 8 hores

Multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(3,33·8)/4 = 6,66 € ha de posar cada amic de la colla de 12 membres per llogar la pista 8 hores a la setmana.

10. Necessitem 37 autobusos per transportar 11.000 passatgers en 5 viatges. Quats autobusos necessitarem per transportar 17.000 passatgers en 4 viatges?

Plantegem la regla de tres combinada agrupant per columnes els ítems (autobusos, passatgers i viatges)

37 autobusos ———-> 11.000 passatgers ————> 5 viatges
X autobusos ———-> 17.000 passatgers ————> 4 viatges

Plantegem una de les possibles regles de tres simple (qualsevol)

37 autobusos ———-> 5 viatges
X autobusos ———-> 4 viatges

Quant més autobusos menys viatges farem, per tant és una regla de tres inversa. Per resoldre-la multipliquem les dades en horitzontal i dividim per la restant:
(37·5)/4 = 46,25

45,25 autobusos necessitarem per portar 11.000 passatgers en 4 viatges. Per saber quants en necessitem per portar 17.000 passatgers plantegem una altra regla de tres:

42,25 autobusos ———-> 11.000 passatgers
X autobusos ———-> 17.000 passatgers viatges

Per portar més passatgers necessitem més autobusos. És doncs una regla de tres directa. Per resoldre-la multipliquem les dades en diagonal i dividim per la restant:
(17.000·42,25)/11.000 = 65,3
65,3 autobusos, però com que només podem contractar autobusos sencers, haurem de demanar 66.

 

Anuncis

Deixa un comentari

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Esteu comentant fent servir el compte WordPress.com. Log Out / Canvia )

Twitter picture

Esteu comentant fent servir el compte Twitter. Log Out / Canvia )

Facebook photo

Esteu comentant fent servir el compte Facebook. Log Out / Canvia )

Google+ photo

Esteu comentant fent servir el compte Google+. Log Out / Canvia )

Connecting to %s